tak0kadaの何でもノート

発声練習、生存確認用。

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内積の定義について

微分幾何で接空間を考えているとき、その上で内積を定義する(あるいは普段のユークリッド空間と同じようなものがあると考える)とき、どうやら2種類の流儀があるように見える。(独自研究)

1. $\frac{\partial x}{\partial u}$を基底とする考え方

$$ \displaystyle \begin{aligned} g_{ij} &\equiv &\langle {\bf \partial}_{i}, {\bf \partial}_{j} \rangle\\ &= &\sum_{k}(\frac{\partial x_{k}}{\partial u_{i}})(\frac{\partial x_{k}}{\partial u_{j}}) \end{aligned} $$ とすると1-vectorである${\bf v}, {\bf w}$について$< {\bf v}, {\bf w} > = g_{ij}v^{i}w^{j}$となる。gは$\mathbb{R}^{2\times 2}$の行列。

2. $\frac{\partial}{\partial u}$を基底とする考え方

まず、 $$ \displaystyle g \equiv g_{ij} dx^{i} \otimes dx^{j} $$と定義して、さらに $$ \displaystyle \langle \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\rangle \equiv g(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) $$ とすれば、$\displaystyle g_{ij} = \langle \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\rangle$となる。さらに、1-vectorである${\bf v}, {\bf w}$について$< {\bf v}, {\bf w} > = g_{ij}v^{i}w^{j}$も得られる。注意点としては$g$は(0,2)型テンソルで、$\{ g_{ij} \}$は$\mathbb{R}^{2\times 2}$の行列になる点。