tak0kadaの何でもノート

発声練習、生存確認用。

医学関連は 医学ノート

Noether環上の有限生成加群はNoether加群になる

可換環論ではNoether環というものが性質の良いものとして知られているらしい。上の命題の証明について考えていたが、yahoo知恵袋を見て流れだけ分かったような気になっており、今のお気持ちをメモしておく。(代数学2 環と体とガロア理論|日本評論社にはNoether環の項があるので、そのうち正しい証明を確認する必要がある。)

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arch linuxの復旧

nヶ月に一度yay -Syyuしてそのたびに起動しなくなってしまう。

専門誌(?)への出版状況

plos computational biologyとnature methodsへの出版状況を調べてみた。医学部出身者の畑ではないことだけが伝わってきて渋い。

  • plos comp. biol. (2005-): 3報、うち医学研究科(or京大病院)筆頭著者0報
  • nat. methods (2004-): 4報、うち医学研究科(or京大病院)筆頭著者3(2?)報
  • 追記: ポンコツ過ぎて知らなかったのですが、plos oneより上の雑誌のほうが難しいそうです。nature姉妹氏のシステムと逆とは。
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Brownian noiseの特異値分解

The emotional arcs of stories are dominated by six basic shapes | EPJ Data Science | Full Textに対するhttps://senderle.github.io/svd-noise/での反論を見ている。前者は映画の"emotional arc"をSVDで分解すると周期的な波が出てくるのでそのような物語を人間が好んでいるというような書き方をされている。後者はブラウニアンノイズをSVDしても同様の結果が得られ、逆に特定のパターンが含まれているとそれが抽出できることを示して、全体として周期的な変化は存在しない可能性があると書いている(起承転結のような言葉があることを考えると直感的にはにわかには信じがたいが)。Karhunen–Loève theorem - Wikipediaというのがブラウニアンノイズから周期的なパターンが出てくる理由とのこと。

特異値分解

SVD(特異値分解)解説 - QiitaPCAとSVDの関係性を示す - Qiitaの要旨だけかいつまんでメモしておく。

  • $AA^{T}$を$AA^{T}U = U \Lambda$と分解する
  • ここで$A^{T}A$についても考えると、$A^{T}A (A^{T}u) = A^{T}(AA^{T}u) = A^{T}(\lambda u) = \lambda (A^{T}u)$より$AA^{T}$と$A^{T}A$は固有値を共有する
    • 固有ベクトルは同じとは限らない
  • $||v_{i}||=||u_{i}||=1$なのでスケールを調整して$V = A^{T}U\Theta$とおく
  • $A=U\Theta^{-1}V^{T}$が得られる
    • 特異値分解できた
  • $AA^{T} = U\Theta^{-2}U^{T}$より、$AA^{T}U = U\Theta^{-2}$なので、$\lambda = 1/\theta^{2}$
  • $\sigma=\theta^{-1}$とおくと、$A = U \Sigma V^{T}$
  • $\Sigma$のうち成分が大きいものだけ選ぶと次元削減になる

  • $X=U\Sigma V^{T}$と特異値分解して$U^{T}X = \Sigma V^{T}$とすると、$u_{i}$へ$x_{j}$を正射影した内積は、$\sigma_{i} V^{T}_{i,j}$になることが分かる。

    • PCA自体の立式はLagrangeの未定乗数法で導出できる
  • あとで読む: 特異値分解 - 初級Mathマニアの寝言