第3章は外積代数の導入。外積代数は微分幾何と双対?らしい。

3.1 ベクトルと1-form

これから出てくるk-formはベクトルを $k$ 個とる関数の総称。ベクトルから1-formへの変換が $♭$ 、1-formからベクトルへの変換が $\#$ とそれぞれ音符を用いて表される。ベクトルの内積と似たようなものだが、1-formでの演算はfで誘導された計量を表し、 $u^{♭}(v) = g(u,v)$ 。

$dx_{i}\frac{\partial}{\partial x^{j}} = \delta_{j}^{i} = \begin{cases}1, &i=j\\0, &otherwise.\end{cases}$より、 $dxと\frac{\partial}{\partial x}$ は双対基底と呼ばれている。
これを用いて、 $\alpha = \alpha_{1}dx^{1}+\cdots+\alpha_{n}dx^{n}$ 、 $v = v^{1}\frac{\partial}{\partial x_{1}}+\cdots+v^{n}\frac{\partial}{\partial x^{n}}$ と書くと、 $\alpha(v) = \sum\alpha_{i}dx^{i}\sum v^{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}=\sum\alpha_{i}v^{i}$ となる。アインシュタイン縮約を用いて、 $\alpha(v) = \alpha_{i}v^{i}$ 。

$\#$ と $♭$ は実際にはこの双対基底の入れ替えを行う。つまり $\alpha = \sum \alpha_{i}dx^{i}$ なら $\alpha^{\#} = \sum\alpha^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ 。 $v = \sum v^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ なら $v^{♭} = v_{i}dx^{i}$ 。

3.2 微分形式とウェッジ積

$u$ , $v$ を1-formの $\alpha$ 、 $\beta$ で変換した先で作る平行四辺形の外積 $u'\times v'$ を $\alpha \land \beta(u,v) \equiv \alpha(u)\beta(v) - \alpha(v)\beta(u)$ と書くことにする。すると $\alpha\land\beta$ は2-formになる。 $\alpha\land\beta$ は反対称なので、 $\alpha\land\beta = -\beta\land\alpha$ 、 $\alpha\land\alpha = 0$ 。分配法則 $\alpha\land(\beta\land\gamma) = \alpha\land\beta + \alpha\land\gamma$ も成立する。

$u$ , $v$ , $w$ によって $\mathbb{R}^{3}$ に張られる体積を考える。

$\alpha\land\beta\land\gamma(u,v,w) \equiv \det([u' v' w']) = \det\begin{pmatrix} \alpha(u) &\alpha(v) &\alpha(w)\\ \beta(u) &\beta(v) &\beta(w)\\ \gamma(u) &\gamma(v) &\gamma(w) \end{pmatrix}(u'\times v')\cdot w'$などと等しい。

k-formに拡張すると、 $\alpha$ がk-form、 $\beta$ がl-form、 $\gamma$ がm-formとすると、反対称性: $\alpha\land\beta=(-1)^{kl}\beta\land\alpha$ となる。結合法則はこれまでと同様に成立するが、分配法則は $l=m$ の場合に限られる。

上で見たk-formは $\mathbb{R}$ でしか考えていなかったが任意の空間に値を取りうることに注意。 $f: M \to \mathbb{R}^{3}$ は0-formにも関わらず $\mathbb{R}^{3}$ であるし(ベクトルと座標を区別している?)、 $df$ も1-formで $\mathbb{R}^{3}$ である。ウェッジ積の定義から明らかであるが、ウェッジ積を求めるためにはベクトルの積が定義されている必要がある。

3.3 Hodge双対

$\mathbb{R}^{3}$ で $\alpha\land\beta = \gamma$ と表せるが、これは $n=3$ 、 $k=2$ に対して、 $n-k$ 方向と $k$ 方向が対応すると言える(らしい)。ここから双対性を導く。

組み合わせは色々あるが反対称性があるので同じ物同士は0になり、順番が逆なだけだと符号が入れ替わるだけなので $\binom{n}{k}$ 通り基底が取れる。

0-form基底: $1$
1-form基底: $dx^{1}、dx^{2}、dx^{3}$
2-form基底: $dx^{1}\land dx^{2}、dx^{3}\land dx^{1}、dx^{1}\land dx^{2}$
3-form基底: $dx^{1}\land dx^{2}\land dx^{3}$

$\mathbb{R}^{3}$ でホッジ作用素 $\star$ を、 $$ \begin{align} \star 1 &= &dx^{1}\land dx^{2}\land dx^{3}\\ \star dx^{1} &= &dx^{2}\land dx^{3}\\ \star dx^{2} &= &dx^{3}\land dx^{1}\\ \star dx^{3} &= &dx^{1}\land dx^{2}\\ \star(dx^{1}\land dx^{2}) &= &dx^{3}\\ \star(dx^{2}\land dx^{3}) &= &dx^{1}\\ \star(dx^{3}\land dx^{1}) &= &dx^{2}\\ \star(dx^{1}\land dx^{2}\land dx^{3}) &= &1 \end{align} $$ と定義する。一般に $(1,\ldots,n)$ を並べ替えたもの $(i_{j})$ について $\star(dx^{i_{1}}\land \cdots \land dx^{i_{k}}) = dx^{i_{k+1}}\land \cdots \land dx^{i_{n}}$ が成立する。

まっすぐな空間では上の議論で良かったが曲がった空間を考えると、 $dx^{1}\land dx^{2}$ などという量は意味がないので、 $\det(g) := g(u,u)g(v,v) - g(u,v)^{2}$ として、 $\omega := \sqrt{\det(g)}dx^{1}\land\cdots\land dx^{n}$ を体積形式という。 $\star 1 =\omega$ が成立する。

一般的に内積、外積はウェッジ積にホッジ作用素を作用させたものとみなせる。つまり、外積は $u\times v = (\star(u^{♭}\land v^{♭}))^{\#}$ 、内積は $u\cdot v = \star(u^{♭}\land\star v^{♭})$ である。

参考: http://hooktail.sub.jp/differentialforms/HodgeStarOperator/

3.4 微分 演算子

まずはベクトル解析を復習しておく(自分はやったことが無いが)と、 $\nabla := (\dfrac{\partial}{\partial x^{1}}, \cdots,\dfrac{\partial}{\partial x^{n}})$ 。これを用いてgrad、div、curlは定義される。

gradは $\phi: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ について、 $\nabla\phi = (\dfrac{\partial\phi}{\partial x^{1}},\cdots,\dfrac{\partial\phi}{\partial x^{n}})$

divはベクトル場 $X$ にドット積で作用させて $\nabla\cdot X = \dfrac{\partial X^{1}}{\partial x^{1}}+\cdots+\dfrac{\partial X^{n}}{\partial x^{n}}$

curlは $X$ と外積をとって $\nabla\times X = (\dfrac{\partial X^{3}}{\partial x^{2}}-\dfrac{\partial X^{2}}{\partial x^{3}}, \dfrac{\partial X^{1}}{\partial x^{3}}-\dfrac{\partial X^{3}}{\partial x^{1}}, \dfrac{\partial X^{2}}{\partial x^{1}}-\dfrac{\partial X^{1}}{\partial x^{2}})$

となり、非常にややこしい。これらの演算子を微分形式の言葉に翻訳すると、より高次元への拡張も出来る。

grad $d\phi := \dfrac{\partial\phi}{\partial x^{1}}dx^{1} +\cdots+ \dfrac{\partial\phi}{\partial x^{n}}dx^{n}$ とすると、 $\nabla\phi = (d\phi)^{\#}$ 。 $df(u) = u\cdot\nabla f$ は $u$ 方向への変化を調べられる。
curl

外微分の積に対して一般に $d(\alpha\land\beta) = d\alpha\land\beta + (-1)^{\deg\alpha}\alpha\land d\beta$ が成立する。以下アインシュタイン縮約を用いて、 $d\alpha = d(\alpha_{i}dx^{i})$ 。 $\alpha_{i}dx^{i}$ を0-form $\alpha_{i}$ と1-formの基底の1つ $dx^{i}$ のウェッジ積とみなすと、 $$ \begin{align} d\alpha &= &d(\alpha_{i}\land dx^{i})\\ &= &(d\alpha_{i})\land dx^{i} + \alpha \land d(dx^{i})\\ &= &\dfrac{\partial\alpha_{i}}{\partial x^{j}}dx^{j} \land dx^{i}\\ &= &(\frac{\partial\alpha_{2}}{\partial x^{1}} - \frac{\partial\alpha_{1}}{\partial x^{2}}) dx^{1}\land dx^{2} + (\frac{\partial\alpha_{3}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial\alpha_{2}}{\partial x^{3}}) dx^{2}\land dx^{3} + (\frac{\partial\alpha_{1}}{\partial x^{3}} - \frac{\partial\alpha_{3}}{\partial x^{1}}) dx^{3}\land dx^{1} \end{align} $$ より、 $\nabla\times X = (\star dX^{♭})^{\#}$ 。

curlに直交すること、2次元では $\star\alpha\perp\alpha$ なので、 $\star d\star X^{♭}$ と予想される。実際、 $\star X^{♭} = \star(X_{1}dx^{1}+X_{2}dx^{2}+X_{3}dx^{3}) = X_{1}dx^{2}\land dx^{3} + X_{2}dx^{3}\land dx^{1} + X_{3}dx^{1}\land dx^{2}$ 。更に微分して $d\star X^{♭} = \sum\dfrac{\partial X_{i}}{\partial dx^{i}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ 。よって $\star d\star X^{♭}$ 。

ベクトル解析		n-form	外微分
grad	$\nabla\phi$	0-form	$(d\phi)^{\#}$
curl(rot)	$\nabla\times X$	1-form	$(\star dX^{♭})^{\#}$
div	$\nabla\cdot X$	2-form	$\star d \star X^{♭}$

* ラプラシアン $\Delta$

0-formでは $\Delta = \star d\star d$ 、k-formでは $\Delta := \nabla\cdot\nabla = \star d\star d + d\star d\star$ 。 $\delta = \star d\star$ とすれば、 $\Delta = \delta d + d\delta$ と表される。k-formのラプラシアンを0-formの関数に適用しても、 $\star\phi$ は(n+1)-formなので $d\star\phi=0$ 。

3.5 積分、発散定理、ストークスの定理

一般に、区間 $A$ の面積 $A_{\Omega} = \sum A_{i} = \int_{\Omega} dA = \int_{\Omega}\phi dA$ である。微分形式を用いると、 $dA$ を2-form $dx^{1}\land dx^{2}$ で置き換えたり、 $dx^{1}\land dx^{2}$ の代わりに体積形式 $\omega = \sqrt{\det(g)}dx^{1}\land dx^{2}$ を使うなどの式変形が考えられる。

発散定理(div)

発散定理は水の流れなどで流出量と流入量の関係を表す。 $X$ を $\Omega$ 上のベクトル場、 $n$ を境界の単位法線として、発散定理は $\int_{\Omega} \nabla\cdot X dA = \int_{\partial\Omega}n\cdot Xdl$ と表される。これを書き換えると $\int_{\Omega}d\star X^{♭}=\int_{\partial\Omega}\star X^{♭}$ である( $\star dX^{♭}$ で無いことに注意)。

グリーンの定理、ストークスの定理(curl)

(http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensTheorem/より)

グリーンの定理、ストークスの定理は領域内の微小な回転を全て集めると境界上での回転に等しいという関係を表す。グリーンの定理は $\mathbb{R}^{2}$ 上、ストークスの定理は $\mathbb{R}^{3}$ の曲面上で、 $t$ を境界の単位法線として、 $\int_{\Omega}\nabla\times XdA = \int_{\partial\Omega}t\cdot Xdl$ 。これを書き換えると、 $\int_{\Omega} dX^{♭}=\int_{\partial\Omega}X^{♭}$ になる?

上の定理を大まかに見ると全て $\int_{\Omega}d\alpha = \int_{\partial\Omega}\alpha$ となる。これは微小量を全体で積分した値は境界でその量を積分した量に等しいと解釈できる。

3.6 離散外微分

離散微分形式

エッジごとに1-formを積分すると、定数 $\hat{\alpha}_{e} := \int_{e}\alpha$ となる。これは $|e|$ をエッジの長さ、 $u:=\dfrac{e}{|e|}$ をエッジの単位接ベクトル、離散的に書きなおすと、 $\int_{e}\alpha = |e|(\dfrac{1}{N}\sum_{i} \alpha_{p_{i}}(u))$ である。この $\alpha_{e}$ を集めるとメッシュ全体でのフローが調べられる。また、積分の区間の並び方で積分値の符号が決まる。一般にk-単体(k次元単体)上で(k+1)-formを積分するとき、積分の範囲は $\{\sum_{i}\lambda_{i}p_{i} | \sum_{i}\lambda = 1, \lambda\geq 0\}$ である。(k+1)単体に含まれるk単体を面という。先ほどの積分値を一般的な場合に書き直すと、 $\int_{e}\alpha = |σ|(\dfrac{1}{N}\sum_{i}\alpha_{p_{i}}(u_{1}, \cdots, u_{n}))$ となる。 $\{u_{i}\}$ はエッジ $\{p_{ij}\}$ からシュミットの直交化などで計算した基底で上と変わらない。(0-formの関数や値の積分 $\int\phi$ は積分前の $\phi$ と等しい。)

ある面に属するエッジで積分することを考えると、 $\int_{σ}d\alpha = \int_{\partial σ}\alpha = \sum\int_{e_{i}}\alpha = \sum \hat{\alpha}_{i}$ 。左辺も離散化して、 $\hat{d}\hat{\alpha} = \sum\alpha_{i}$ 。 $\hat{\alpha}$ は向きによって符号が変わるので注意。

離散ホッジ作用素

n次元でk-単体を指定すると、それと直交する(n-k)-次元の双対メッシュを指定したことになる。画像は2次元での双対メッシュを図示したものであり、左の絵からは双対メッシュは単体とは限らないことが分かる。 $\alpha$ のホッジ双対は $\hat{\star}\hat{\alpha}$ と表す。連続の場合と違って離散の場合は主形式と双対形式は足し合わせることができない(おそらく積分したもので定義しているのが原因)。主形式の1-formはメッシュに沿った流速、双対形式は直行しているので流量を表す。単位点あたりの流量(or流速)が同じなので $\dfrac{\hat{\alpha}_{i}}{|σ_{i}|} = \dfrac{\hat{\star}\hat{\alpha}_{i}}{|σ^{\star}_{i}|}$ が成立する(ただし点については $|σ|:=1$ )。