ラプラス変換
ラプラス変換は微分方程式などで積分を掛け算、割り算の形に書き換えて解くための方法。
$$ F(s) = \mathcal{L}(f(t)) \equiv \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt $$
$\mathcal{f(t)}$が存在するためには、
- ある$k<s$を満たす$k$について、$|f(t)| \lt Me^{kt}$を満たすこと(指数位数kである)
- 有限個の点以外は連続、不連続な点では極限値が存在すること(区分的に連続)
が十分条件。(必要条件ではない)
その他には、
逆ラプラス変換
$$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s)) \equiv \dfrac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} e^{st}F(s)ds $$
ラプラス変換$F(s)$が分かっているときに$f(t)$に戻すのに使う。逆ラプラス変換も線形性がある。
ラプラス変換表
数学力不足だから表に乗ってなかったら即死する。
| $f(t)$ | $F(s)$ |
|---|---|
| $\delta(t)$ | $1$ |
| $t^{\alpha}$ | $\dfrac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}$ |
| $e^{pt}$ | $\dfrac{1}{s-p}$ |
参考
Integrating the Dirichlet probability distribution, for great justice
↑早送りだろうけど積分していくのの滑らかさは非数学系的には感動するレベル
初心者用ラプラス変換
ラプラス変換とその使い方
やる夫で学ぶディジタル信号処理
