楕円体を回転させて綺麗に並べる。
原点から距離$1$の球面 $$ \{ y | ^{t}yy =1, y\in\mathbb{R}^{3} \} $$ に対して$x=Ay$と表される全単射な一次写像を作用させて得られる曲面(楕円体) $$ \{ x | {}^{t}x({}^{t}A^{-1} \cdot A^{-1})x = 1, x \in \mathbb{R}^{3}\} $$ を考える。
この時、$A$の固有値分解によって得られる固有ベクトル$X ~({}^{t}X \cdot X = I)$、固有値($\lambda ~(|\lambda_{0}| > |\lambda_{1}| > |\lambda_{2}|)$)とすると、 $$ AX = X \begin{pmatrix} \lambda_{0} &~ &~\\ ~ &\lambda_{1} &~\\ ~ &~ &\lambda_{2} \end{pmatrix} = X\Lambda $$ と表される。
この$X$を用いて、$z = X^{-1}x$と一次変換すると、$A^{-1} = X \bigl( \dfrac{1}{\Lambda} \bigr) X^{-1}$より $$ 1 = ({}^{t}z {}^{t}X)({}^{t}A^{-1} \cdot A^{-1})(X z) = {}^{t}z ({}^{t}X \cdot ({}^{t}X^{-1}) \bigl(\frac{1}{\Lambda}\bigr) ({}^{t}X X) \bigl(\frac{1}{\Lambda}\bigr) (X^{-1})\cdot X) z = {}^{t}z \bigl(\frac{1}{\Lambda}\bigr)^{2} z $$ となり、$z$はそれぞれの軸がx軸、y軸、z軸方向に一致する。
