tak0kadaの何でもノート

発声練習、生存確認用。

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球面上の分布間の距離

分布$X, X': S^{2} \to \mathrm{R}$があったとき、2つの分布の距離を例えば$d(X, X') := \int_{S^{2}} (X - X')^{2} d\theta d\phi$と定義すると球面調和関数$Y_{l,m}$を用いて$X = \sum_{l,m} c_{lm}Y_{lm}$と書けるので、$\int_{S^{2}} Y_{lm}Y_{jk} d\theta d\phi = \delta_{lj}\delta_{mk}$より、 $$ \begin{aligned} d(X, X') &= &\int_{S^{2}} (\sum_{l, m} c_{lm}Y_{lm} -\sum_{j, k} c'_{jk}Y_{jk})^{2} d\theta d\phi \\ &= &\sum_{l, m} \int_{S^{2}} (c_{lm} - c'_{lm})^{2}Y_{lm}^{2} d\theta d\phi \\ &= &\sum_{l, m} (c_{lm} - c'_{lm})^{2} \end{aligned} $$ 結局$(l+1)^{2}$次元の点の距離を計算するだけで良いことが分かる。この距離の定義だと近似するために置いた点の配置は無関係である。