※分布の計算は院試に出ません
準備
独立な平均0、分散1の正規分布n個により$Z = (Z_{0}, Z_{1}, \cdots, Z_{n-1})$と表されるZの分布を考えると、
ただし
アフィン変換
$L(X) = AX+b$を考え、上の分布を変形する。$X=AZ+b$とおくと、 $$ E[X] = E[AX+b] = E[A]E[X] + E[b] (\because \text{Slutskyの定理}) = b\\ V[X] = E[(X-E[X])(X-E[X])^{T}] = AV[Z]A^{T} = AA^{T} $$ ここで、とおけば、
この分布は平均$\mu$、分散(共分散行列)で定められ、と表記される。逆にこの分布は周辺化すると1次元の正規分布が得られる(はず)。
参考
- Francis, A., & Golmant, N. Derivations of the Univariate and Multivariate Normal Density. (pdf): 正規分布自体の導出もあり。多次元の場合の導出は上記と若干違うがなぜ違うか分かっていない。