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tak0kadaの何でもノート

発声練習、生存確認用。

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「幾何学的に理解する物理数学」を読んだ

読書メモ 数学

サイエンス社SGCライブラリの幾何学的に理解する物理数学微積分を理解するために読んだ。初心者に分かりやすく、浅く広く勉強するのには便利な教科書だが、誤植(と初学者並に思う)が所々あるので証明の間を埋めるのに少し時間を要した。テンソル複素解析汎関数の概念を新たに仕入れたのでそれは今後折を見て勉強する。

長くなるので内容を詳細に書きだすことはせず、自分用メモとしてキーワード等を列挙する。

目次

  1. エネルギー保存則
  2. 2重積分
  3. ベクトル解析
  4. 空間の回転
  5. 剛体の回転運動
  6. 連続の方程式
  7. Legendre変換
  8. 微分形式入門
  9. 複素解析
  10. 変分原理

1. エネルギー保存則

  • ポテンシャルエネルギー
    • 物理以外での利用を考えると
    • 周囲と異なって分布して、一様になる傾向を見出だせる物に定義する
    • 別のものと交換できる(位置エネルギー←→速度)
    • 周囲に移せる(gradの定義)

2. 2重積分

3. ベクトル解析

  • 積分、面積分
  • 面積要素: $d \vec{S}$
  • grad, rot, div

4. 空間の回転

  • 直交群: O(3)
    • $R^{T}R = 1_{3}$
    • $\sum_{k} R_{ki}R_{kj} = \delta_{ij}$
    • 直交群で特にdet=1を満たすものを特殊回転群SO(3)という。det=-1のものはR(-1_{3})で得られ、座標軸の向きを入れ替えるのでパリティー変換という。
  • 軸周りの回転を表す行列T
    • 微小な回転: $1_{3} + \sum\epsilon_{a} T_{a}$
    • Tは反対称行列: $T + T^{T} = 0$
  • 回転行列は無限小回転を使って表せる

    • $R = exp\theta(\vec{e}\vec{T}) = exp\theta(e_{x}T^{1} + e_{y}T^{2} + e_{z}T^{3})$
  • 回転による変換によって物理量を分類する

5. 剛体の回転運動

  • 慣性テンソル: $I_{ij} = \int d^{3}x \rho(\vec{x})(\delta_{ij}\vec{x}^2 - x_{i}x_{j})$
  • 主軸: 慣性テンソルを対角化したときの軸
  • 角運動量
  • 静止系、運動系
  • 慣性楕円体$\frac{\Omega_{1}^{2}}{\frac{2E}{I_{1}}} + \frac{\Omega_{2}^{2}}{\frac{2E}{I_{2}}} + \frac{\Omega_{3}^{2}}{\frac{2E}{I_{3}}} = 1$
  • 等エネルギー面
  • Eulerの運動方程式: $\frac{d}{dt}\vec{L}(t) = \vec{L}(t) \times \vec{\Omega}(t)$: Lは運動系での角運動量、Ωは運動系での角速度ベクトル
  • Poinsotの定理: 慣性楕円体は接平面に接して運動する

6. 運動の方程式

  • 分極
  • 磁化
  • 渦電流
  • 誘電率
  • 透磁率
  • エネルギー・運動テンソル: $T_{\mu\nu} (\mu, \nu = 0,1,2,3)$
    • $T_{ij}$
      • $i,j \neq 0$: j成分のi方向への流れ
      • 0は流れなし
  • Maxwell方程式
  • 電磁波: 電荷密度、電流密度なしのMaxwell方程式の解
  • 波動方程式
  • 応力テンソル: $σ_{ji}(\vec{x},t)$
    • j方向に垂直な単位平面に働く力のi成分
    • 液体なら$i\neq j$で0
  • Lameの定数
  • Young率: 力の方向の伸び率
  • Poisson比: 力に垂直な方向の縮みと力の方向の伸びの比
  • 弾性波

7. Legendre変換

下に凸な関数fに対して、 $$ \begin{cases} g(c) &= &Min_{x} (f(x) - cx)\\ f(x) &= &Max_{c} (g(c) + cx)\\ f'(x(c)) &= &c\\ g'(c) &= &-x(c) \end{cases} $$

  • Legendre変換のLegendre変換は元の関数
  • 自由エネルギー
  • エントロピー: S(E, V)
  • Boltzmann因子
  • Helmoholtzの自由エネルギー: F(T, V)
  • Maxwellの関係式
  • van der Waalsの状態方程式

8. 微分形式入門

  • 地図帳、貼りあわせ、多様体
  • 向き: ヤコビアンの符号
  • Mobiusの帯
  • 境界$\partial {M}$
  • $\ast\ast\omega = (-1)^{k(n-k)}\omega$
  • 完全形式: $d\omega = 0$
  • 閉形式: $w = d{}^{\exists} v$
  • Poincareの補題
  • 単位の分割
    • $\omega = \sum_{i} g_{i} dx_{1}^{(i)} ∧ \cdots ∧ dx_{n}^{(i)}$
    • 微分可能、$\sum_{i} g_{i} = 1$、$M_{i}$の外では$g_{i} = 0$
  • Stokesの定理
  • Maxwellの方程式
  • アルキメデスの原理

9. 複素解析

  • Riemann球: $zw = 1$
  • 正則: $\partial_{\bar{z}}f = 0$
  • n次のゼロ、極
  • 総和則
  • Mobius変換: α→0、γ→∞となる1対1で正則な写像
    • $m(z) = \frac{z - \alpha}{z - \gamma}\frac{\beta - \gamma}{\beta - \alpha}$
  • 留数
  • 留数定理: $\oint f(z)dz = 2\pi c_{1}$
  • 代数学の基本定理
  • Riemann面

10. 変分原理

  • ラグランジアン: $L(x, \dot{x}) = \frac{m\dot{x}^{2}}{2} - V(x)$
  • 作用: $S[x] = \int_{x1}^{x2} dt L(x, \dot{x})$
  • 作用を最小にするようにx(t)は決まる: 最小作用の原理
  • 変分: $\delta f = f[x+dx] - f[x]$
  • 運動量: $p = \frac{\partial L(q(t), \dot{q}(t))}{\partial \dot{q}(t)}$
  • 運動方程式: $\frac{dp}{dt} = \dot{q}p - L(q, \dot{q})$
  • 全エネルギー: $E(q, \dot{q}) = \dot{q}p - L(q,\dot{q})$
  • Hamiltonの主関数: $S(q_{2}, t_{2}; q_{1}, t_{1})$: 作用について記述する
    • Hamilton-Jacobiの方程式
  • Maupertuisの原理: 軌道のみについて記述
    • $S_{M}(q_{2}, q_{1}; E) = S + E$
  • Fermatの原理、最急降下線、最小面積