(離散)外微分についての調べ物をしている。微分幾何の経験もなく引っかかるところがほとんどないが、とにかくlibDDGの作者のページチュートリアルをこなしていくことにする。最近代数幾何学が流行りらしく、統計が幾何でイメージできるのなら理解したいと思っていたところである。高次元の立体を扱えそうなものが来たということで頑張りどころ。

第1章

離散外微分(DEC)は立体を処理する簡単、柔軟、効率的な数学の言葉。

第2章

出てきた単語で訳語が分からないもの、意味が分からないものについて列挙しながら理解できる範囲で整理する。

2.1 表面の幾何

接ベクトルについて

関数fによって2次元の円板 $M$ を3次元に写すことを考える( $f: M \in \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}$ )。この関数の微分 $df$ をベクトル $X$ を作用させたもの $df(X)$ とする。微分は傾きと捉えられることが多いがここでは円板が伸び縮みする度合いとして考えることとする。df(X)の長さはドット積あるいはスカラー積を用いて、 $\sqrt{df(X) \cdot df(X)}$ あるいは $\sqrt{{\lt}f(X),df(X)>}$ で表す。 $g(X, Y) = df(X)\cdot df(Y)$ と書くと、gはfで誘導された計量という。

法線ベクトルについて

曲面に垂直なベクトルを考える。あるベクトル $u \in \mathbb{R}^{3}$ が $df(X) \cdot u = 0$ を満たすときuを表面の法線であるという。特に長さが1のもの $\hat{N}$ を単位法線という。 $+\hat{N}$ と $-\hat{N}$ を区別できる場合Mを向き付け可能という。例えばトーラスは向き付け可能な曲面の例(これだとf(M)では...?)。メビウスの輪は向き付け不可能な例。

この $\hat{N}$ を写像だと見ると、 $M$ から単位球 $S^{2}$ へのガウス写像と見ることができる。さらに、この $\hat{N}$ をMの一種?(different geometry of M)と見ると、ワインガルテン写像 $d\hat{N}$ から単位方向が分かる(例: 単位法線: $\kappa_{n}(X) = \dfrac{df(X) \cdot d\hat{N}(X)}{|df(X)|^{2}}$ で接ベクトル方向の変化)。

等角パラメータ表現

パラメータ表現とあるが変換でも通じる気がするので変換と書いておく。

等長変換( $|df(X)| = |X|$ )はメルカトル法など地図などでもよく使うが、等長変換だと面がちぎれたり伸びきったりしてしまうことがある。そこで等角変換( $df(X) \cdot df(Y) = a{\lt}X,Y> = e^{u}{\lt}X,Y>$ )を用いるとそのようなことがない。一意化定理というものがあるので等角変換の存在はどんなMでも(少なくとも局所的に)保証されているらしい。ここから後はfは特に指定しなければ等角変換として使われる。

2.2 微分と接ベクトル

微分は傾きと捉えられることが多いがここでは円板が伸び縮みする度合いとして考えることとする。色々書いてあるが数学的な定義ははっきりとはなされない。 $d\phi$ がそもそも何かとかは微分形式を勉強すればOK?

2.3 曲線の幾何

区間 $I$ 上の関数 $\gamma: I \to \mathbb{R}^{3}$ が等長変換だとして、単位接ベクトルを $T = d\gamma(X)$ として、さらに主法線 $N$ は $T$ の変化、 $\kappa$ は曲率を表すので、 $dT(X) = -\kappa N$ 。この時、 $T \perp N$ となる。(以前力学の問題を解いた時に似たようなことを証明したことがあるのを思い出した。)

2.4 表面の曲率

主曲率、平均曲率、ガウス曲率

単位接ベクトル $T$ 、単位主法線 $N$ 、単位従法線 $B = T \times N$ について、フレネ・セレの公式 $$ \begin{pmatrix}dT\\dN\\dB\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & τ \\ 0 & -τ & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix} $$ より、 $\kappa_{n}(X) = \dfrac{df(X)\cdot dN(X)}{|df(X)|^{2}}$

$\kappa$ は2次元以上では方向を決めないと定まらない。そこで、 $\kappa$ が最大、最小のものを主曲率、その方向を主方向という。この方向は直行することが示せる。

形状作用素 $S: TM \to TM, df(SX) = dN(X)$ とワインガルテン写像 $dN$ は法線が $X$ 方向でどう変化するかを表す点で同じだが、 $S$ は接ベクトルの変化を $M$ 上で表すのに対し、 $dN$ は $\mathbb{R}^{3}$ での接ベクトルの変化を表す点で異なる。We choose to be careful so that we can explicitly account for the dependence of various quantities on the immersion f - this dependence becomes important if you actually want to compute something.←日本語にできない。

主方向と主曲率は形状作用素の固有ベクトルと固有値になっていて、 $SX_{i} = \kappa_{i}X_{i}$ と書ける。さらに、Appendix B より、 $g(X_{1}, X_{2}) = 0$ なので $\kappa_{n}(Y) = \kappa_{1}\cos^{2}{\theta} + \kappa_{2}\sin^{2}{\theta}$ 。

平均曲率 $H = \dfrac{\kappa_{1}+\kappa_{2}}{2}$ とガウス曲率 $K = \kappa_{1}\kappa_{2}$ は離散な対象にも使える。平均曲率は少なくとも一方が曲がっていれば0にならないので論理AND( $\kappa_{1}=-\kappa_{2}$ に注意)、ガウス曲率は両方曲がっていないといけないので論理ORとも言える。球面では任意の方向で $\kappa$ が等しいので臍点である。

基礎形式

それほど使わない表示方法らしい。
第1基礎形式: $\it{I}(X, Y) \equiv g(X, Y)$
第2基礎形式: $\it{I\hspace{-.1em}I}(X, Y) \equiv -g(SX,Y) = -dN(X)\cdot df(Y)$

2.5 座標上での幾何

$df_{p}(X) \equiv \lim_{h \to 0}\dfrac{f(p+hX)-f(p)}{h}$ である。よりヤコビ行列 $J = \begin{pmatrix} \partial f^{1}/\partial x^{1} \partial f^{1}/\partial x^{2}\\ \partial f^{2}/\partial x^{1} \partial f^{2}/\partial x^{2}\\ \partial f^{3}/\partial x^{1} \partial f^{3}/\partial x^{2} \end{pmatrix}$ を用いて具体的に書くと $df(X) = JX$ と書ける。

線型演算子 $f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}; u \mapsto f(u)$ を行列を用いて表すと $f(u)= A u$ 、双線形写像 $g: \mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}; (u,v) \mapsto g(u,v)$ は $g(u,v) = u^{\mathrm{T}}Bv$ と書ける。

この時別な座標系 $(\widetilde{x}, \widetilde{y})$ ( $\widetilde{u} = Pu$ )を考えると $f(u) = PAP^{-1}\widetilde{u}$ 、 $g(u,v) = \widetilde{u}^{\mathrm{T}}P^{-\mathrm{T}}BP^{-1}\widetilde{v}$ つまり $A\mapsto PAP^{-1}$ 、 $B\mapsto P^{-\mathrm{T}}BP^{-1}$ となる。

誘導計量 $g$ も座標系を用いて表せる。 $g(u,v) = df(X)\cdot df(Y)$ なのでヤコビ行列を用いて、 $u^{\mathrm{T}}Iv = (Ju)^{\mathrm{T}}(Jv)$ つまり、 $I = J^{\mathrm{T}}J$ 。ただしここでの $I$ は第1基礎形式の $\it{I}$ に対応する。第2基礎形式は $-g(Su, v)$ なので、 $u^{\mathrm{T}}\rm{I\hspace{-.1em}I}v = u^{\mathrm{T}}ISv$ 。